微分流形(微分流形的应用)

复微分几何是什么

微分几何是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

外微分形式和外微分的区别

外微分形式和外微分是两个不同的概念。外微分是一种线性变换，用来将一个切向量场映射到另一个切向量场上。换句话说，它是一个从1-形式到2-形式的映射。外微分形式是一个多项式函数，它描述了空间中某个形式的性质。例如，在三维空间中，一阶外微分形式可以表示为dx+dy+dz，它表示了这个形式在三个坐标方向上的变化率。因此，外微分和外微分形式虽然都与微积分有关，但是它们是不同的概念，各自有不同的数学含义和应用。

微分流形的预备课程各是什么(像抽象代数的预备课程是高

复变函数先修课程:数学分析、高等代数;实变函数先修课程:数学分析;泛函分析先修课程:数学分析、高等代数、复变函数、实变函数;微分几何先修课程:数学分析、高等代数、常微分方程;微分流形先修课程:拓扑学;来源:《本科生教学手册》,北京大学数学科学学院,2009年。

微分流形的应用

微分流形是现代数学中一个非常重要的概念，简单来说，它是欧式空间的推广，是一种更为抽象和一般的“空间”。经过一百多年的发展，它已经被广泛应用于数学和物理中，借助对微分流形的研究，我们对“空间”有了更为深入的了解和刻画。

学过拓扑的同学应该都知道拓扑流形这个概念，拓扑流形指的就是“局部”同胚于欧式空间的拓扑空间，一般情况下为了适应需要，往往还要求这个拓扑空间满足分离性质(也就是豪斯多夫公理)和具有可数拓扑基。这里还需要解释一下“局部”是个什么意思，这指的就是对任意一个点，存在它的一个邻域，这个邻域和欧式空间同胚。这里我们所考虑的拓扑流形是无边的，对于一些有边流形来说，我们就无法要求它们的边界点有邻域同胚于欧式空间，所以在这种情况下，同胚的对象会以欧式空间的上半空间来代替整个欧式空间。

什么是流形嵌入理论

定义一个m维流形是指一个具有可数基的Hausdorff空间X，它的每一点x有一个领域同胚于R^m中的一个开子集。

1-维流形通常称为曲线2-维流形称为曲面流形是一类很重要的空间，在微分几何和代数拓扑中有充分的研究。

我们将证明，若X是一个紧致流形，则X可以嵌入到一个有限维欧式空间中；

定理若X是一个m-维紧致流形，则X可以嵌入到R^N中，其中N是某一个正整数。